Question

若直线2ax-by+2=0(a＞0，b＞0)被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1/a+3/b的最小值

若直线2ax-by+2=0(a＞0，b＞0)被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1/a+3/b的最小值为

Answer 1

解：
∵圆的方程是x^2+y^2+2x-4y+1=0，即(x+1)^2+(y-2)^2=4
∴圆心是(-1，2)，半径长是2
∵直线截得的弦长为4，正好是直径长
∴直线2ax-by+2=0过圆心(-1，2)
∴a+b=1
∴1/a+3/b=(1/a+3/b)×1=(1/a+3/b)(a+b)=4+b/a+3a/b≥4+2√[(b/a)(3a/b)]=4+2√3
当且仅当b/a=3a/b，即b=(√3)a时，等号成立.