Question

已知三角形ABC中BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直于AB的延长

已知三角形ABC中BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直于AB的延长线交于点F。EG垂直于AC交AC于点G，求证BF=CG

Answer 1

由于条件受限，我无法画出图，只能干说，这样特别枯燥，无奈。
思路如下：利用直角三角形全等来证明对应边边相等，
利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明一组对应边相等，
利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，证明另一组对应角相等。
具体如下：连结EB，EC，因为垂直，所以得到直角三角形
在Rt三角形EBF和Rt三角形ECG中
因为角平分线性质，所以EF=EG
因为垂直平分线性质，所以EB=EC
所以Rt三角形EBF和Rt三角形ECG全等，所以BF=CG

追问

谢谢你的回答，我明白了你说的思路，那么如何证明AF=二分之一（AB+AC)

追答

利用角平分线性质和上步所得条件，得到AF=AG=AC-CG=AC-BF=AC-（AF-AB）=AC+AB-AF
取等式的首尾，AF=AC+AB-AF，整理，AF=二分之一（AB+AC)

追问

老师请问为什么AF=AG?

追答

角平分线上点到角两边距离相等，
这条性质就是由三角形全等得到的。
对应的两个直角三角形中，两组对应角相等，一组公共边，得到另外两组对应边相等，而这两组分别是AF=AG和EF=CG

追问

老师我可不可以加你为QQ好友，以后有什么难题我问你？我QQ是617134628

追答

有问题我们共同思考，共同交流，共同进步。