Question

已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 4 =45，a 1 +a 5 =14．（Ⅰ）求数列{a

已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 4 =45，a 1 +a 5 =14．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及其前n项和S n ；（Ⅱ）令b n = 1 a 2n -1 （n∈N * ），若数列{c n }满足c 1 =- 1 4 ，c n+1 -c n =b n （n∈N * ）．求数列{c n }的通项公式c n ；（Ⅲ）求f（n）= n 9 - b n c n （n∈N * ）的最小值．

Answer 1

（本小题10分） （Ⅰ）因为数列{a n }是等差数列， 所以a 1 +a 5 =a 2 +a 4 =14． 因为d＞0，a 2 ?a 4 =45 所以解方程组可得，a 2 =5，a 4 =9．（2分） 所以a 1 =3，d=2． 所以a n =2n+1． 因为S n =na 1 + 1 2 n（n-1）d， 所以S n =n 2 +2n． 数列{a n }的通项公式a n =2n+1，前n项和公式S n =n 2 +2n．（4分） （Ⅱ）因为b n = 1 a 2n -1 （n∈N * ），a n =2n+1， 所以b n = 1 4n(n+1) ． 因为数列{c n }满足c 1 =- 1 4 ，c n+1 -c n = 1 4n(n-1) ， 所以c n+1 -c n = 1 4 （ 1 n - 1 n+1 ）． c n -c n+1 = 1 4 （ 1 n+1 - 1 n ） … c 2 -c 1 = 1 4 （1- 1 2 ） 以上各式相加得：c n+1 -c 1 = 1 4 （1- 1 n+1 ）= n 4(n+1) ． 因为c 1 = 1 4 ， 所以 c n+1 =- 1 4(n+1) ． 所以 c n =- 1 4n ．（7分） （Ⅲ）因为f（n）= n 9 - b n c n ，b n = 1 4n(n+1) ，c n =- 1 4n ， 所以f（n）= n 9 + 1 n+1 ． 因为f（n）= n 9 + 1 n+1 = n+1 9 + 1 n+1 - 1 9 ， 所以 n+1 9 + 1 n+1 - 1 9 ≥2 n+1 9 ? 1 n+1 - 1 9 f（n）≥ 2 3 - 1 9 = 5 9 ，当且仅当 n+1 9 = 1 n+1 ，即n=2时等号成立． 当n=2时，f（n）最小值为 5 9 ．（10分）