Question

已知数列{a n }的前n项和S n ，且 ，其中a 1 =1，a n ≠0，（1）求a 2 ，a 3 ，a 4 ，并猜想数列{a n }

已知数列{a n }的前n项和S n ，且 ，其中a 1 =1，a n ≠0，（1）求a 2 ，a 3 ，a 4 ，并猜想数列{a n }的通项公式；（2）求证：数列{a n }是等差数列；（3）设数列{b n }满足 ，T n 为{b n }的前n项和，求证：2T n ＞log 2 （2a n +1），n∈N*．

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Answer 1

（1）解： ， ∴a 2 =2，a 3 =3，a 4 =4 （2）证明：已知式即 ，故 因为a n ≠0，当然a n+1 ≠0，所以a n+2 ﹣a n =2（n∈N*）． 由于 ，且a 1 =1，故a 2 =2． 于是a 2m﹣1 =1+2（m﹣1）=2m﹣1，a 2m =2+2（m﹣1）=2m， 所以a n =n（n∈N*）． （3）解：由 ，睁察粗 得 ，悉镇 故 ． 从而 . ．没谨 因此 = = 设 故 ． 注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）． 特别地 ， 从而2T n ﹣log 2 (2a n +1) =log 2 f（n）＞0． 所以2T n ＞log 2 (2a n +1)，n∈N*．