在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(Ⅰ)求证:a,b,c成
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;(Ⅱ)若a=1,c=2,求△...
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;(Ⅱ)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.
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(I)证明:∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC
∴sinB(
+
)=
∴sinB?
=
∴sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc
∴sinBsin(A+C)=sinAsinC,
∵A+B+C=π
∴sin(A+C)=sinB
即sin2B=sinAsinC,
由正弦定理可得:b2=ac,
所以a,b,c成等比数列.
(II)若a=1,c=2,则b2=ac=2,
∴cosB=
=
,
∵0<B<π
∴sinB=
=
∴△ABC的面积S=
acsinB=
×1×2×
=
.
∴sinB(
sinA |
cosA |
sinC |
cosC |
sinAsinC |
cosAcosC |
∴sinB?
sinAcosC+sinCcosA |
cosAcosC |
sinAsinc |
cosAcosC |
∴sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc
∴sinBsin(A+C)=sinAsinC,
∵A+B+C=π
∴sin(A+C)=sinB
即sin2B=sinAsinC,
由正弦定理可得:b2=ac,
所以a,b,c成等比数列.
(II)若a=1,c=2,则b2=ac=2,
∴cosB=
a2+c2?b2 |
2ac |
3 |
4 |
∵0<B<π
∴sinB=
1?cos2B |
| ||
4 |
∴△ABC的面积S=
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
4 |
| ||
4 |
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