在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(Ⅰ)求证:a,b,c成

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;(Ⅱ)若a=1,c=2,求△... 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;(Ⅱ)若a=1,c=2,求△ABC的面积S. 展开
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陨落rCM00M
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知道答主
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(I)证明:∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC
∴sinB(
sinA
cosA
 + 
sinC
cosC
)=
sinAsinC
cosAcosC

∴sinB?
sinAcosC+sinCcosA
cosAcosC
=
sinAsinc
cosAcosC

∴sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc
∴sinBsin(A+C)=sinAsinC,
∵A+B+C=π
∴sin(A+C)=sinB
即sin2B=sinAsinC,
由正弦定理可得:b2=ac,
所以a,b,c成等比数列.
(II)若a=1,c=2,则b2=ac=2,
cosB=
a2+c2?b2
2ac
3
4

∵0<B<π
∴sinB=
1?cos2B
=  
7
4

∴△ABC的面积S=
1
2
acsinB=
1
2
×1×2×
7
4
7
4
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