Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．（1）求证：AC是⊙

已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED， ∴∠BAD=∠C．（1分） ∵OC⊥AD于点F， ∴∠BAD+∠AOC=90°．（2分） ∴∠C+∠AOC=90°． ∴∠OAC=90°． ∴OA⊥AC． ∴AC是⊙O的切线．（4分） （2）∵OC⊥AD于点F， ∴AF= 1 2 AD=8．（5分） 在Rt△OAF中，OF= O A 2 -A F 2 =6，（6分） ∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C， ∴△OAF ∽ △OCA．（7分） ∴ OA OC = OF OA ． 即OC= O A 2 OF = 100 6 = 50 3 ．（8分） 在Rt△OAC中，AC= O C 2 -O A 2 = 40 3 ．（10分）