定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)，则称函
定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．（...
定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．（2）对于函数f(x)＝x+1x，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．（3）若函数f(x)＝1x?ax2在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
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（1）y＝log
x（或其它底在（0，1）上的对数函数）．…（2分）
（2）函数f(x)＝x+
在区间（0，+∞）上具有性质L．…（4分）
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
则
?f(
)=
(x1+
+x2+
)?(
+
)=
?
?
＝
＝
∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，2x1?x2（x1+x2）＞0
即
?f(
)＞0，
∴
＞f(
| 1 |
| 2 |
（2）函数f(x)＝x+
| 1 |
| x |
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
则
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1?x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| (x1+x2)2?4x1?x2 |
| 2x1?x2(x1+x2) |
| (x1?x2)2 |
| 2x1?x2(x1+x2) |
∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，2x1?x2（x1+x2）＞0
即
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
∴
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
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