Question

（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（2）设函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，如果关于x的不

（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（2）设函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，如果关于x的不等式f（x）≥a-（x-2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

证明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正实数，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，
关于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²，转化为：|x+1|+|x-5|+（x-2）²≥a，在R上恒成立，
令g（x）=|x+1|+|x-5|+（x-2）²=

x2?6x+8，x＜?1 x2?4x+10，?1≤x＜5 x2?2x，5≤x

，
x=2时函数取得最小值为：6，
∴实数a的取值范围：（-∞，6]．