Question

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如图1，点P为∠ABC角平分线上的一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PD=PE，BE不等于BD。

1）判断∠ABC与∠DPE的数量关系，并证明你的结论。
2）如图2，过点P作PF⊥AB于F点，写出BD+BE与BF之间的数量关系并证明
0.0

Answer 1

BE不等于BD。总要有一个大的，我们设BE大一些。则我们引PM垂直于BE交BE于M,
引PF垂直于BA交BA于F。在直角△PDF与△直角PEM中，PF=PM（P在角平分线上），
且PD=PE（已知），所以两个三角形全等。对应角FPD=角MPE，
在含有两个直角的四边形AMPF中，内对角FBM加上角FPM=180度。
而角FPM=角DPE,(刚才已经推出：二对应角相等，等量加等量）。
所以，题目的第一问是二角之和为180度。
由第一问的推导，可知DF=EM，所以，BD+BE=BF的二倍。

Answer 2

作PF⊥AB于F，作PH⊥BC于H，∵点P为∠ABC角平分线上的一点∴PF=PH，又∵PD=PE，∴△PDF≌△PEH（HL）∴∠DPF=∠EPH，又∵四边形FBHP，∴∠FBH+∠HPF=180度，又∵∠FPH=∠FPD+∠DPH=∠DPH+∠HPE=180度。∴∠ABC与∠DPE互补
（2）由（1）可知，△PDF≌△PEH，BF=BH，DF=HE，BD+BE=BF-DF+BE=BF-DF+BH+DE=2BF。