Question

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上， （2）如果M、N是边BC上的两个动点，且满足∠MAN=45

如果M、N是边BC上的两个动点，且满足∠MAN=45，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN平方=BM平方+NC平方成立，如果成立，请证明，不成立，说明理由。

Answer 1

（2）MN2=BM2+NC2成立．
证明：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中， {AB=AC∠B=∠ACEBM=CE
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．（1分）
在△MAN和△EAN中， {AM=AE∠MAN=∠EANAN=AN
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
即得MN2=BM2+NC2．
另证：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM绕点A逆时针旋转90°后，AB与AC重合，设点M的对应点是点E．
于是，由图形旋转的性质，得AM=AE，∠BAM=∠EAN．
抄完了给评个最佳吧！

Answer 2

http://zhidao.baidu.com/question/222932338.html?an=0&si=2
做CF垂直CM，并使CF=CN，连接AF,MF;
角ACM+NCB=45,角ACM+ACF=45；则角ACF=BCN；又因AC=BC,NC=FC；
则三角形BCN≌ACF；
即角CAF=CBN=45，BN=AF；
三角形CMF≌CMN(CM=CM,CN=CF,角MCN=MCF=45)；
即MN=MF；
因角CAF=45，CAM=45；则三角形AMF是直角三角形；
即AF²+AM²=MF²
又因AF=BN,MF=MN；
则MN^2=BM^2+NC^2

Answer 3

证明：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中， {AB=AC∠B=∠ACEBM=CE
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．（1分）
在△MAN和△EAN中， {AM=AE∠MAN=∠EANAN=AN
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
即得MN2=BM2+NC2．
另证：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM绕点A逆时针旋转90°后，AB与AC重合，设点M的对应点是点E．
于是，由图形旋转的性质，得AM=AE，∠BAM=∠EAN