Question

高中数学，求高手（函数，导数）

已知函数f(x)=ax^3+ bx^2+ cx+ d(a不等于0）,当0≤x≤1时,｜f`(x)｜≤1，求a的最大值
（给我个能看懂的解答，会追加分的）

Answer 1

令g(x)=f'(x)=3ax^2+2bx+c, 在[-1, 1]上，-1=<g(x)<=1
因此有
-1=<g(1)=3a+2b+c<=1
-1=<g(-1)=3a-2b+c<=1
-1=<g(0)=c<=1--> -1=<-c<=1
前两式相加并除以2，得：-1=<3a+c<=1,
与第3式相加得： -2=<3a<=2
因此-2/3=<a<=2/3
即a的最大值为2/3 （此时解得b=0, b=-1)
事实上，a=2/3, g(x)=2x^2-1即满足条件。

追问

额，可是答案是8/3

追答

哦，看错条件了，以为1= -2=<-1.5a-2b-2c<=2
-1=<g(0)=c<=1
以上3式相加，得：-4=<1.5a<=4
即 -8/3=<a<=8/3,
即a的最大值为8/3 （此时解得b=-4, c=1)
g(x)=8x^2-8x+1即满足条件。

追问

是怎么想到-1=<g(0.5)=0.75a+b+c<=1的呢

追答

这跟二次函数有一条对称轴有关。更重要的是，这里有三个未知数a,b,c，因此需要三个式子，而两个端点是必须的。最大及最小值必在端点或抛物线顶点取得。

追问

对称轴不是是-b/3a吗,g(0.5)是顶点吗

追答

这里没有根据此抛物线的实际顶点来求，因为那要分几种情况讨论其是否在区间[0,1]上，且式了较复杂。而直接用此方法已经足以简单地求出结果了。上面说了，这样选的原因与普通的二次曲线的性质有关。

Answer 2

f`(x)这个是求导吗？

追问

是的