Question

高阶导数

F(x)=arctanx 求F^(n)(O) 请详细解答如何运用莱布尼茨公式。。非常感谢！

Answer 1

y = arctanx , y ' = 1/(1+x^2), y '' = -2x / (1+x^2)^2
=> (1+x^2) * y '' + 2x* y ' = 0
上式求 n-2 阶导数：
(1+x^2)* y^(n) + C(n-2,1)* 2x * y^(n-1) + C(n-2,2) * 2 * y^(n-2)
+ 2x * y^(n-1) + C(n-2,1) * 2 * y^(n-2) = 0
当x = 0 时, 得到：y^(n) (0) = - (n-1)(n-2) * y^(n-2) (0)
y'(0) = 1, y ''(0) =0
于是，当n为偶数时， y^(n) (0) = 0
当n为偶数时， y^(n) (0) = (-1)^ [(n-1)/2] (2n-1)!