Question

(初三数学)如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD```

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE。

①求证：∠ADP=∠EPB；

②求∠CBE的度数；

③当线段AD上的动点Q满足什么条件时，PQ=BE，并说明理由。

Answer 1

①证明:PE垂直PD,则∠EPB+∠APD=90°;
又∠ADP+∠APD=90°.
所以,∠ADP=∠EPB.
②解:在AD上截取线段AQ=AP,连接PQ,则DQ=PB;∠AQP=∠APQ=45°,∠DQP=135°.
又PD=PE;∠ADP=∠EPB.故⊿DQP≌⊿PBE,∠PBE=∠DQP=135°,∠CBE=45°.
③当AQ=AP时,PQ=BE.
证明:AQ=AP时,DQ=PB;
又PD=PE;∠ADP=∠EPB.故⊿DQP≌⊿PBE,得PQ=BE.

Answer 2

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；
（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EGP，
∴EG=AP，AD=AB=PG，
∴AP=EG=BG，
∴∠CBE=∠EBG=45°；

（3）当 APAB= 12时，△PFD∽△BFP，
设AD=AB=a，则AP=PB= 12a，
∴BF=BP• APAD= 14a．
∴PD= AD2+AP2= 52a，PF= PB2+BF2= 54a，
∴ PBPD= BFPF= 55
又∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．

Answer 3

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EGP，
∴EG=AP，AD=AB=PG，
∴AP=EG=BG，
∴∠CBE=∠EBG=45°；

（3）当 APAB= 12时，△PFD∽△BFP，
设AD=AB=a，则AP=PB= 12a，
∴BF=BP• APAD= 14a．
∴PD= AD2+AP2= 52a，PF= PB2+BF2= 54a，
∴ PBPD= BFPF= 55
又∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．

Answer 4

（1）证明:PE垂直PD,则∠EPB+∠APD=90°;
又∠ADP+∠APD=90°.
所以,∠ADP=∠EPB.

（2）解:在AD上截取线段AQ=AP,连接PQ,则DQ=PB;∠AQP=∠APQ=45°,∠DQP=135°.
又PD=PE;∠ADP=∠EPB.
故⊿DQP≌⊿PBE,∠PBE=∠DQP=135°,
所以∠CBE=45°.

（3)假设△PFD∽△BFP，则PD/PF=PB/BF
∵∠ADP=∠FPB，∠A=PBF，△ADP∽△BPF
∴PD/PF=AP/BF
∴PB/BF=AP/BF
∵PB=AP，PB/AP=1/2时，△PFD∽△BFP 完成

Answer 5

证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：设APBP=k，则AP=k•BP，AD=AB=（1+k）BP，
∵△APD∽△BFP，
∴APAD=BFPB
∴k•BP(k+1)BP=BFPB
∴BF=k•BPk+1，
∵DP=AD2+AP2=(k+1)2+k2BP=2k2+2k+1BP，
PF=PB2+BF2=BP2+(
k•BPk+1)2=2k2+2k+1k+1•BP．
当△PFD∽△BFP时，DPBP=PFBF，则2k2+2k+1•BPBP=2k2+2k+1k+1•BPk•BPk+1，
解得：k=12．