Question

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x)*f（y），且当x>0时，恒有f（x）>1.证明：

（1）当f（0）=1，且x＜0时，0＜f（x）＜1
（2）f（x）是R上的单调增函数

Answer 1

1)
当x<0时　
此时 -x >0
f(x+ (-x) )=f(x))×f(-x)
即f(0)= 1 =f(x)×f(-x)
==> f(x) =1/f(-x)
因为当x>0时，恒有f（x）>1
==> -x >0时，f(-x)>1,
f(x) =1/f(-x)
则0<f(x)<1(当x<0时)

2）
令y=-x,代入得f(0)=f(x)*f(-x),f(x)*f(-x)=1
再令x1>x2,则f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)
由1）知：f(0)= 1 =f(x)×f(-x)，所以f(-x2)=1/ f(x2).
f(x1-x2）=f(x1)/f(x2) ,
由于x1>x2，所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>1
所以f(x1)/f(x2)>1 ，所以f(x1)>f(x2)
∴f（x）是R上的单调增函数