Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1．（I）证明

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1．（I）证明f（x）在R上是增函数；（II）若f（3）=4，求函数f（x）在[1，3]上的值域．

Answer 1

证明：（I）设x 1 、x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ， f （x 1 ）-f （x 2 ）=f[x 2 +（x 1 -x 2 ）]-f （x 2 ） =f （x 1 -x 2 ）+f （x 2 ）-1-f （x 2 ）=f （x 1 -x 2 ）-1， ∵x 1 ＜x 2 ，∴x 1 -x 2 ＜0， ∵当x＜0时，f（x）＜1 ∴f （x 1 ）-f （x 2 ）=f （x 1 -x 2 ）-1＜0， 即f （x 1 ）＜f （x 2 ）， ∴f （x）在R上是增函数； （II）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=3f（1）-2=4， ∴f（1）=2 ∵f （x）在R上是增函数 ∴函数f（x）在[1，3]上的值域为[2，4]．