Question

已知，如图，，Rt三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC上任意一点。求证，BD²+CD²=2AD²

变式：若P为BC延长线上的一点，那上题的结论成立吗

Answer 1

证明:作AH⊥BC于H.
AB=AC,∠BAC=90度,则BH=CH(等腰三角形底边的高也是底边中线)
故AH=BC/2=BH=CH.(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)
∴BD²+CD²=(BH-DH)²+(CH+DH)²=(AH-DH)²+(AH+DH)²=2(AH²+DH²)=2AD².

若D为BC延长线上一点,上题的结论依然成立.(楼主需要在BC延长线上取一点D,并连接AD)
证明:作AH垂直BC于H.同理可知:AH=BH=CH.
BD²+CD²=(DH+BH)²+(DH-CH)²=(DH+AH)²+(DH-AH)²=2(DH²+AH²)=2AD².

Answer 2

取BD中点O，设∠AOB=α，则AO=(BD+CD)/2,AD=(BD+CD)/2sinα；又因为DO=（BD-CD）/2,所以AD=（BD-CD）/2cosα；两式平方相加可得所证
成立！希望采纳 谢谢！