Question

设AB=6，在线段AB上任取两点（断点除外），将线段AB分成三条线段

设AB等于6，在线段AB上任取两点(端点A,B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若不考虑所分线段的顺序，只考虑长度，则分成三条线段长度均为正整数的情况有几种？那么在这几种中随机抽出一种，能够成三角形的概率为多少？(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以够成三角形的概率？

Answer 1

(1)均为正整数有以下几种情况 三线段长度分别为

1 1 4；1 2 3；

2 2 1；这三种情况

能够构成三角形的只有2 2 1 这种情况

所以概率是1/3

(2)这是区域概率问题

设分得的一条线段长度为X 第二条为Y 则第三条为6-x-y

满足以下条件X Y 6-X-Y 都必须大于0小于6 图中 红色区域面积就是所有线段的取值可能

如果要构成三角形 需要满足 任意两条线断之和大于第三条

所以有X+Y>6-X-X; X+6-X-Y>Y;Y+6-X-Y>X

化简得X+Y>3;Y<3;X<3

从图中可以知道绿线包围的面积就是可以构成三角形的情况

分别计算两个三角形面积 大三角形面积是6*6/2=18 小三角形面积3*3/2=9/2

所以构成三角形概率是9/2 /18=1/4

Answer 2

解：（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2，2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1共310种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形
则构成三角形的概率p=110．
（2）由题意知本题是一个几何概型
设其中两条线段长度分别为x，y，
则第三条线段长度为6-x-y，
则全部结果所构成的区域为：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6，
即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面区域为三角形OAB；
若三条线段x，y，6-x-y，能构成三角形，
则还要满足{x+y＞6-x-yx+6-x-y＞yy+6-x-y＞x，即为{x+y＞3y＜3x＜3，
所表示的平面区域为三角形DEF，
由几何概型知所求的概率为：P=S△DEFS△AOB=14

Answer 3

1/8