Question

如图所示,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O

如图所示,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线交BC于E、F,试用你所学的知识说明△EOF的周长与线段BC之间的大小关系以及∠A与∠EOF之间的大小关系

Answer 1

△EOF的周长=线段BC的长度，∠A=∠EOF
设OB和OC的垂直平分线交OB,OC为M,N
所以OM=MB,ON=NC,
根据边角边定理，可以知道三角形OME全等于三角形BME；三角形ONF全等于三角形CNF。
所以角OBE=角BOE=角ABO,角FOC=角OCF=角ACO
OE=BE,OF=FC
所以△EOF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC
因为角OBE=角BOE=角ABO,角FOC=角OCF=角ACO
所以角OEF=角OBE+角BOE=角OBE+角ABO=角ABC
同理可得角OFE=角ACB
所以∠A=∠EOF