Question

如何证明数列没有极限 例如，设（1+1/n)sin(n∏/2)无极限

Answer 1

这个例子可以用“数列收敛于a，则该数列任意子列收敛于a”这个命题来做。
假设原数列有极限a，该数列的偶数项子列均为0，而下标为4k+1（k∈N）的子列收敛于1，这与上述命题矛盾，所以假设不成立，即该数列无极限。

Answer 2

只需要证明数列发散就可以说明数列无极限。证明过程如下：
（1）令n=2k,k是整数，则数列恒等于0
（2）令n=4k+1,k是整数，则数列=(1+1/n)sin(n∏/2)=(1+1/n)sin(2n∏+∏/2)=(1+1/n)*1趋向于1，当n趋于无穷时
而0≠1，所以数列发散，即数列无极限。

Answer 3

n=4k (k属于z)极限为(1+1/(4k))sin(2kπ)=0
n=4k+1(k属于z)极限为(1+1/(4k+1))sin(2kπ+π/2)=1
n=4k+2 (k属于z)极限为(1+1/(4k+2))sin(2kπ+π)=0
n=4k+3 (k属于z)极限为(1+1/(4k+3))sin(2kπ+3π/2)=-1
不同子数列的极限不一样，所以极限不存在

Answer 4

考虑两个子列：
当n为偶数时的子列1
当n为4m+1时的奇数时的子列为2
则由于子列1的极限是0，而子列2的极限1
由于两个子列的极限不同，所以原数列极限不存在