Question

在三角形ABC中 a,b,c分别是角A,B,C的对边 且cosB/cosC=-b/(2a+c),若b=根号2，求a+c的范围

我算出的答案是（1，根号2],还是（根号2,2根号6/3)啊

Answer 1

cosB/cosC=-b/(2a+c)=-sinB/(2sinA+sinC),
∴2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC,
∴2sinAcosB+sin(B+C)=0,
sin(B+C)=sinA≠0，
∴cosB=-1/2,B=120°，A+C=60°，|A-C|∈[0°，60°）
∴a+c=b(sinA+sinC)/sinB
=2√2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]/(√3/2）
=（2√6/3）cos[(A-C)/2]
∈（√2,2√6/3].

追问

你可以帮我看看，哪里有问题吗我划出√2sin(A+φ）=a+c
tanφ=b/a即2√3/3除以√6、3
等于√2
因为1<√2<√3,所以π/4<φ<π/3
因为A属于（0，π/3）所以A+φ属于（π/4,2π/3)
所以sin(A+φ）属于（√2/2,1]
所以a+c不就属于（1，√2】吗

追答

问题出在√2sin(A+φ）=a+c，
应为a+c==（2√6/3）cos[(A-C)/2].