Question

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点

直线PQ的斜率为3/2过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为M。（1）求椭圆的离心率（2）直线3x+4y+1/4a^2=0与圆M相交于E,F两点，且向量ME*向量MF=-1/2a^2,求椭圆的方程

Answer 1

直线PQ的斜率为3/2，
所以|PF1|=|QF2|=3/2c（c为半焦距，设F2为右焦点），所以Q(c,3/2c)，
Q∈C，所以c^2/a^2+(3/2c)^2/b^2=1 ①
又b^2=a^2-c^2 ，代入①得：c^2/a^2+(3/2c)^2/(a^2-c^2)=1 ②
离心率e=c/a，所以c=ae，代入②得：e^2+(9/4)e^2/(1-e^2)=1，
考虑到0<e<1,解得：e=c/a=1/2，于是，a^2=4c^2，b^2=3c^2，于是C：x^2/4+y^2/3=c^2 ③
根据椭圆性质，|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，既然c/a=1/2，那么△AF1F2为正三角形，
所以∠AF1F2=60°，在Rt△AF1B中，|F1B|=2|AF1|=2a=4c，
所以，△AF1B的外接圆M的圆心即F2（直径所对圆周角为直角）.
所以，圆M的方程为：(x-c)^2+y^2=4c^2 ④
已知直线3x+4y+1/4a^2=0 ⑤ 与圆M相交于E,F两点，④⑤联立，并将a=2c代入得：
25x^2-(32c-6c^2)x+(c^4-48c^2)=0 ⑥
25y^2-(-24c-8c^2)y+(c^4+6c^3-27c^2)=0 ⑦
由韦达定理可得：
x1+x2=(32c-6c^2)/25 x1*x2=(c^4-48c^2)/25 y1*y2=(c^4+6c^3-27c^2)/25 ⑧
已知向量ME*向量MF=-1/2a^2，即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=x1*x2-c(x1+x2)+c^2+y1*y2=-1/2a^2，
将⑧一组式子代入（同时代入a=2c）并整理得：c^2(c+8)(c-2)=0，因c>0，故 c=2 ⑨
⑨代入③得：C：x^2/4^2+y^2/(2√3)^2=1