Question

ln(1+x²)的泰勒展开公式

为什么我算出来二阶展开是ln(1+x²)=1+x²+o(x²)
根据麦克劳林展开 第二阶不是f(0)的二阶导/2! *x²吗？ ln(1+x²)的二阶导不是等于2 么？？？？

Answer 1

泰勒公式展开ln（x＋1）＝x－x²／2＋．二次之后的相对下面的都是0，就直接可以舍去了。

f＇（x）＝－2x／（1－x²）

f＇＇（x）＝［－2（1－x²）－（－2x）（－2x）］／（1－x²）²＝－2（1＋x²）／（1－x²）²

f（3）（x）＝－2［2x（1－x²）²－2（1－x²）（－2x）（1＋x²）］／（1－x²）＾4

（tylor＇sseriesofaproximationofx＝a）＝f（a）＋f＇（a）（x－a）＋f＇＇（a）（x－a）²／2！＋［f（3）（a）］（x－a）³／3！

a值应该是书上给的，没给就直接写a。

扩展资料

Ln（x＋1）泰勒公式展开的定义域的理解：

因为

ln（1＋x）＝x－x²／2＋x³／3－．

x＝1时，右边数项级数＝1－1／2＋1／3－1／4＋．

这个是交错级数，它是收敛的。

所以

x＝1时收敛

但

x＝－1时，右边＝－1－1／2－1／3－．

＝－（1＋1／2＋1／3＋．）

这个是发散的

所以

收敛域为（－1，1）。

Answer 2

同学你好，f(0)=0,一阶导是2x/(1+x²),把0一代，是0，二阶导是[2（1+x²)-4x²]/(1+x²)²=2(1-x²)/(1+x²)²,把x=0代入得2.所以，它的二阶展开式应该是x²+o(x²).
根据等价无穷小，ln(1+x²)确实是等价于x²的。