Question

三角形ABC的周长为根号2+1，且sinA+sinB=根号2sinC,(1)求边AB(2)若三角形ABC的面积为1/6sinC，求角C的度数

三角形ABC的周长为根号2+1，且sinA+sinB=根号2sinC,(1)求边AB(2)若三角形ABC的面积为1/6sinC，求角C的度数 要详细步骤 谢谢

Answer 1

sinA+sinB=√2sinC
sinA/sinC+sinB/sinC=√2
a/c+b/c=√2
(a+b)/c=√2
a+b=√2c
周长为根号2+1
a+b+c=√2+1
√2c+c=√2+1
c=1，即AB=1

a+b=√2+1-c=√2
三角形ABC的面积为1/6sinC
1/2absinC=1/6sinC
ab=1/3
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
={(a+b)^2-2ab-c^2}/(2ab)
={(√2)^2-2*1/3-1^2}/(2*1/3)
={2-2/3-1}/(2/3)
=1/2
C=60°

Answer 2

(1) 设ABC对应边分别是a,b,c
则a+b+c=√2+1
sinA+sinB=√2*sinC
由正弦定理化为边的形式 a+b=c*√2 (1)
所以c*√2+c=√2+1
解得c=1 即AB=1
(2) 三角形面积S=(1/2)absinC=(1/6)sinC
所以ab=1/3 (2)
由余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=[(a+b)²-2ab-c²]/(2/3)
=(2c²-2/3-c²)/(2/3)
=(c²-2/3)/(2/3)
=(1-2/3)/(2/3)
=1/2
所以C=60°