Question

已知椭圆G：x2/4+y2=1，过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率。
（2）将lABl表示为m的函数，并求出lABl的最大值。

Answer 1

解（1）椭圆G的焦点坐标为(±√3，0)，c=√3，a=2,∴e=c/a=√3/2
(2)设直线AB的方程为y=k(x-m).
由直线AB与圆x²+y²=1相切可知，圆心到直线的距离d=|km|/√k²+1=1
化简得k²m²=k²+1
将直线方程y=k(x-m)代入椭圆方程x²/4+y²=1消y得(4k²+1)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设点A(x1,y1)B(x2,y2),则x1+x2=8k²m/(4k²+1),x1x2=(4k²m²-4)/(4k²+1)
|AB|=√(k²+1)|x1-x2|=√(k²+1）√(x1+x2)²-4x1x2=4√3|m|/(m²+3)
=4√3/(|m|+3/|m|)
≤4√3/(2√3)=2
当且仅当|m|=3/|m|，即|m|=√3，m=±√3时，取等号
当直线AB与X轴垂直，切点为(±1，0），将x=±1代入椭圆方程求得y=±√3/2
∴此时|AB|=√3＜2
综上，m=±√3，有|AB|最大值2.

Answer 2

(1)椭圆G中，a=2,b=1,所以c=根号3，焦点在x轴上，两个焦点坐标为（±根号3,0）
离心率为c/a=根号3/2
(2)设M(m,0)，由于椭圆关于x、y轴都对称，不妨仅以m>0求解即可（易知此时1≤m<2）。
以下分两种情形讨论
①当AB直线与x轴垂直时，m=1,则A、B点的横坐标都是1，代入椭圆方程得坐标为A(1，根号3/2)
B（1，负根号3/2），此时 lABl=根号3
②当AB直线与x轴不垂直时，设该直线方程为y=k(x-m),化为一般式为kx-y-km=0
(其中k待定)。该直线与单位圆相切，故(0,0）到kx-y-km=0的距离为半径1
即 |k*0-0-km|/根号（k^2+1）=1,整理变形得k^2=1/(m^2-1)，故得k=±1/根号（m^2-1）
不妨仅取k=1/根号（m^2-1）
则直线方程为y=[1/根号（m^2-1)](x-m)
把该方程与椭圆方程联立解得A、B的坐标(不好意思，符号多，太难 打了省略)
最后得到|AB|= (4根号3乘以m)/(m^2+3), 再对此式中的m求导并令导数为0，得m=根号3，经判断知道m=根号3是1≤m<2上的极大点，此时，|AB|=2为极大值，也是最大值

Answer 3

解（1）椭圆G的焦点坐标为(±√3，0)，c=√3，a=2,∴e=c/a=√3/2
(2)设直线AB的方程为y=k(x-m).
由直线AB与圆x²+y²=1相切可知，圆心到直线的距离d=|km|/√k²+1=1
化简得k²m²=k²+1
将直线方程y=k(x-m)代入椭圆方程x²/4+y²=1消y得(4k²+1)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设点A(x1,y1)B(x2,y2),则x1+x2=8k²m/(4k²+1),x1x2=(4k²m²-4)/(4k²+1)
|AB|=√(k²+1)|x1-x2|=√(k²+1）√(x1+x2)²-4x1x2=4√3|m|/(m²+3)
=4√3/(|m|+3/|m|)
≤4√3/(2√3)=2
当且仅当|m|=3/|m|，即|m|=√3，m=±√3时，取等号
当直线AB与X轴垂直，切点为(±1，0），将x=±1代入椭圆方程求得y=±√3/2
∴此时|AB|=√3＜2
综上，m=±√3，有|AB|最大值2.