Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a，b∈R，都满足:f(a*b)=a*f(a)+b*f(b).

（1）求f(0),f(1)的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由。

答案是（1）0；0.
（2）奇函数
求过程。

Answer 1

（1）令尘罩a=b=0 f(0）=0f(0)+0f(0)=0
令a=b=1 f(1*1)=1f(1)+1f(1) 则得f(1)=0
(2)令a=1 b=-1 f(-1)=f(1)-f(-1)有誉衫f(-1)=1/2f(1)=0
令a=-x b=1 有f(-x)=-xf(x)-1f(-1)=-xf(x)
令a=x b=1 f(x)=xf(x)+1f(1)=xf(x)
由以庆兄腔上二式 f(x)=-f(x)

Answer 2

（1）因为对任镇轿意的a,b∈R都满足御态肆f(a*b)=af(b)+bf(a),
取a=b=1,得
f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
f(0)=0

（2）
f(ab)=f(-a*-b)=-af(-b)-bf(-a)
所以af(b)+bf(a)=-af(-b)-bf(-a)
所以a[f(b)+f(-b)]=-b[f(a)+f(-a)]

f(-ab)=-af(b)+bf(-a)
f(-ab)=af(-b)-bf(a)
所以-af(b)+bf(-a)=af(-b)-bf(a)
所以a[f(b)+f(-b)]=b[f(a)+f(-a)]

所以a[f(b)+f(-b)]=b[f(a)+f(-a)]=0
所以f(x)+f(-x)=0
奇函闭樱数

追问

题目是f(a*b)=a*f(a)+b*f(b).

追答

是啊 没有错啊 :因为(a*b)=a*f(a)+b*f(b)所以.f(a*b)=f(-a*-b)=-af(-b)-bf(-a)
中间都省了乘号

追问

如果说你那样改的话，题目应该是f（a*b）=a*f(b)+b*f（a）而不是f(a*b)=a*f(a)+b*f(b).

Answer 3

第一问 代入 就可以拿弯了f(a*b)=a*f(a)+b*f(b). f(0*0)=0*f(0)+0*f(0) 就得0了 1也是一样的 把AB换成1 就行消锋闷了 这样函数问题 第一问 给什么基山数就带什么行了
第二问 奇函数的性质 有一条就是 当F（0）=0 时 就满足奇函数 由第一问已经求得F（0）=0 所以 就是奇函数了

追问

y=x^2是偶函数，但也过原点。