Question

如图，P为正三角形ABC内一点，P到三个顶点的距离PA=2，PB=4，PC=2根号3 求证正三角形ABC的面积

三角形ABC绕A点逆时针旋转60度
P转到P'，B转到C，C转到D

△PP'C中
AP=AP'=PP'=2 P'C=PB=4 PC=2√3
∴∠P'PC=90° ∠PCP'=30°

∠PCB + ∠P'CD = 120°- ∠PCP' = 90°
∠PBC = ∠P'CD
∴△PBC中：∠PBC + ∠PCB = 90°
∠BPC = 90°

边长 BC = √[ 4^2 + (2√3)^2 ] = √28

面积 7√3

在网上找到了这个过程但是不完整啊，为什么∠PCP'=30°
急！！！！拜托补充完整一点，追加分！！

Answer 1

AP=AP'=PP'=2 P'C=PB=4 PC=2√3
∴∠P'PC=90° ∠PCP'=30°
由勾股定理得到AP^2+PC^2=P'C^2
∠P'PC=90°
AP=1/2PB所以AP对的角PCP'就是30°

Answer 2

按这种方法可能还难算一点，我换一种方向换一种转法
将△APB绕B点逆时针旋转60°得△BP'C（只有一部分移动而不是整个正三角形移动）
A旋转到C，P旋转到P'
连接PP'，因为△APB全等于△BP'C
所以∠ABP=∠CBP'，所以∠ABC=∠BAP+∠PBC=∠CBP'+∠PBC=∠PBP'=60°
BP=BP'，所以△PBP'为正三角形，∠BPP'=60°
因为CP'=PA=2，PP'=PB=4，PC=2√3 ，CP'^2+PC^2=PP'^2
所以∠PCP'=90°，∠P'PC=30°，
∠BPC=∠BPP'+∠P'PC=60°+30°=90°，△BPC为直角三角形
所以BC^2=BP^2+PC^2
BC=√（BP^2+PC^2）=2√7
则△ABC的高为2√7*（√3/2）=√21
S△ABC=（2√7*√21）/2=7√3

Answer 3

△PP′C是直角三角形，P′P=2，P′C=4
P′P=P′C/2
30度角所对直角边是斜边的一半，所以∠P′CP=30度
当直角边是斜边一半时，它所对的角是30度，也是可以直接使用的
证明过程如下：
取P′C中点D，连接PD
则PD是斜边上中线，PD=P′C/2=CD=P′D
因为P′P=P′C，所以PD=P′D=P′P
三角形P′PD是等边三角形，∠P′PD=60
所以∠P′CP=90-60=30

Answer 4

这是特殊三角形：
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，反过来也成立。