Question

已知F1 F2是椭圆的两个焦点，满足向量MF1×向量MF2=0的点总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围。

求解体详细过程。必要的文字说明，谢谢！

Answer 1

这是一个知识点，最好自己总结一下：
椭圆中，张角最大处是短轴的顶点；
题目说：向量MF1×向量MF2=0的点总在椭圆内部，即满足MF1垂直于MF2的点M均在椭圆内部。
所以：椭圆上的最大张角也是一个锐角；
画出短轴上顶点B和左焦点F1的连线，即角F1BO要小于45度，则角OF1B大于45度，
三角形中大边对大角原则：BO>OF1，即b>c
即b²>c²，即：a²-c²>c²，即a²>2c²，所以：c²/a²<1/2，即0<e<√2/2；

记住结论吧：椭圆中，0<e<√2/2时，椭圆上的点与焦点构成的张角，直角点为0个；
e=√2/2时，直角点2个，就是短轴两个顶点；
√2/2<e<1时，直角点4个；
自己去推一下。。。

Answer 2

∵向量MF1·向量MF2＝0，∴向量MF1⊥向量MF2，∴∠F1MF2＝90°，
∴点M在以F1F2为直径的圆周上。
∵点M在椭圆内部，∴椭圆包含以F1F2为直径的圆，∴b＞｜F1F2｜/2。
∴b＞c，∴b^2＞c^2，∴－b^2＜－c^2，又c^2＝a^2－b^2，∴c^2＜a^2－c^2，∴2c^2＜a^2，
∴√2c＜a，∴c/a＜√2/2，显然有：c/a＞0，∴0＜c/a＜√2/2，∴0＜e＜√2/2。
满足条件的椭圆的离心率取值范围是（0，√2/2）。