Question

设等比数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，公比q=λ /(1+λ ),(λ ≠1,且≠0)

（1）证明：Sn=(1+λ)-λan
（2）设f(x)=x/(1+x)，数列{bn}满足b1=f(1)，bn=f(b(n-1)) (n属于正整数且n>=2)，求bn通项公式。
（3）求lim(1/n^2)*(1/b1+1/b2+1/b3+……+1/bn)的值。

第（2）问我已经做出来了，是bn=1/(n+1) (n属于正整数）
主要是（1）和（3）

求过程！！谢谢嗯~~

Answer 1

(1)因等比数列通项公式an=a1q^(n-1)，所以an=1(λ/1+λ)^(n-1)
因等比数列前n项和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
所以Sn=1【1-(λ/1+λ)^n】/(1-λ/1+λ)==1+λ-λ^n/(1+λ)^(n-1)==(1+λ)-λan
（3）bn=1/(n+1) (n属于正整数），n->无穷大时1/n^2->0，bn=1/(n+1) ->0
lim(1/n^2)*(1/b1+1/b2+1/b3+……+1/bn)=0

Answer 2

(1) an=a1*q^(n-1)=[λ/(1+λ)]^(n-1)
Sn=a1*[1-q^n]/(1-q)
={1-[λ/(1+λ)]^n}/{1-[λ/(1+λ)]}
={1-[λ/(1+λ)]*an}/{1-[λ/(1+λ)]}
=(1+λ)-λan
得证
(2) bn=f[b(n-1)]=b(n-1)/[1+b(n-1)]=1/[1/b(n-1)+1]
所以1/bn-1/b(n-1)=1
则{1/bn}是公差为1的等差数列
首项=1/b1=1
所以1/bn=1+(n-1)=n
故bn=1/n
(3) 因(1/n^2)*(1/b1+1/b2+1/b3+……+1/bn)
=(1/n²)*(1+1/2+1/3+...+1/n)
<(1/n²)*(1+1+.....+1) (n个1)
=n/n²
=1/n
因(1/n^2)*(1/b1+1/b2+1/b3+……+1/bn)
=(1/n²)*(1+1/2+1/3+...+1/n)
<(1/n²)*(1/n+1/n+.....+1/n) (n个1/n)
=1/n²
因lim(n→∞) 1/n=0 lim(n→∞) 1/n²=0
由夹逼定理, lim(1/n^2)*(1/b1+1/b2+1/b3+……+1/bn)=0

Answer 3

sn=(1-an*q)/(1-q)=(1+λ)-λan