Question

设f(x)是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且x＞1时，f(x)＞0.

若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-3)≤2

Answer 1

先来考察f(x)的单调性：
令0<x1<x2，则x2/x1>1，因为x＞1时，f(x)＞0，所以f(x2/x1)>0；
x2=(x2/x1)*x1，而已知定义域内的宏销任意好历x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，
所以：f(x2)=f[(x2/x1)*x1]=f(x2/x1)+f(x1)；
即得：f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)，又f(x2/x1)>0；
所以0<x1<x2时，f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)；
所以f(x)在定义域内是一个增函数。

f(2)=1，则f(4)=f(2)+f(2)=2；
所以不等式f(x)+f(x-3)≤2，即f(x)+f(x-3)≤f(4)；
首先满足定义域的要求：x>0，x-3>0；得x>3；
又由题可知f(x)+f(x-3)=f(x^2-3x)；
所以f(x)+f(x-3)≤2=f(4)，即f(x^2-3x)≤f(4)
由递增性：x^2-3x≤4，即x^2-3x-4≤0，即(x-4)(x+1)≤0，得：-1≤x≤4；
结合定义域，得友绝搜x的范围是：3<x≤4；
即不等式f(x)+f(x-3)≤2的解是：3<x≤4；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！