Question

如何证明指数换底公式

Answer 1

log(a)(b)表示以a为底的b的对数。
　　所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
　　换底公式的推导过程：
　　若有对数 log(a)(b) 设a=n^x,b=n^y
　　则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
　　根据 对数的基本公式log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 和 基本公式log(a^n)(M)=1/n×log(a)(M)
　　易得 log(n^x)(n^y)=y/x
　　由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
　　则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
　　得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　由基本性质4可得
　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 性质：　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
　　推导如下：
　　N = a^[log(a)(N)]
　　a = b^[log(b)(a)]
　　综合两式可得
　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　又因为N=b^[log(b)(N)]
　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
　　证明如下：
　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数
　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

应该很全面了 希望对你有帮助：）

追问

是证明指数换底公式

追答

推导过程不是证明么？？ 迷糊：）

追问

不用纠结了，谢了，我已经知道了

Answer 2

log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
令log(a)(b)=x
a^x=b
两边同取以n为底的对数
xlog(n)(a)=.log(n)(b)
x=log(n)(b)/log(n)(a).
即log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).

追问

是证明指数换底公式

追答

请问什么是指数换底公式？？？

追问

就是高一数学书上换底公式那一节问题与思考

追答

把要证明的公式写过来？

追问

a的n次方=b的na次方