Question

如图，在rt三角形abc中，∠acb等于90°，∠bac等于30°，把三角形绕点c按逆时针方向旋转，旋转角度为α

1,当三角形ada’是等腰三角线，求旋转∠α，
2，若ac等于10根号2，求当α等于45°时，三角形aca’的面积

Answer 1

（1）解：连接AA’，

因为∠ ACB=90°，∠BAC=30°。把三角形ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A’B’C’，

则AC=A’C，∠B=60°，

因为△ADA’为等腰三角形，

所以当AD=AA’时，则∠ADA’=∠AA’D，

又因为∠ADA’=∠CDB=180°-60°-（90°-α）=30°+α，

∠AA’D=（180°-α）/2=90°-α/2,

则30°+α=90°-α/2,则60°+2α=180°-α，

所以3α=120°，α=40°；

当AA’=A’D时，则∠A’DA=∠A’AD，

又因为∠ADA’=∠CDB=180°-60°-（90°-α）=30°+α，

∠AA’D=（180°-α）/2=90°-α/2,

则∠A’AD=180°-∠ADA’-∠AA’D=180°-（30°+α）-(90°-α/2)=60°-α/2,

则30°+α=60°-α/2,

3α/2=30°，则α=20°；

当A’D=AD时，则∠AA’D=∠A’AD，

因为∠A’AD=180°-∠ADA’-∠AA’D=180°-（30°+α）-(90°-α/2)=60°-α/2,

∠AA’D=90°-α/2，

则60°-α/2=90°-α/2，60°=90°，显然不成立。

所以，综上所述，可得；α=40°或20°。

（2）解：因为把三角形ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A’B’C’，

则AC=A’C=10√2，

又因为α=45°，

所以S△ACA’=1/2×AC×A’C=1/2×（10√2）×（10√2）=100。