Question

椭圆x^2+4y^2=12,右焦点F,过F的直线交椭圆与A和B,AF=3FB，求过O,A,B的圆的方程

Answer 1

设A(a,b);B(m,n);F(c,0);
由x^2+4y^2=12；化成标准方程：x^2/12+y^2/3=1;所以:c^2=12-3=9;c=3;即F(3,0);
由AF=3FB；即AF^2=9FB^2;得(a-3)^2+b^2=9(m-3)^2+9n^2;(1)
又知A，B都在椭圆上，b^2=3-a^2/4;n^2=3-m^2/4;代入(1)化简得：
9(m-4)^2=(a-4)^2;所以a=3m-8或a=16-3m;
由于AF=3FB，所以a<3;3<m<2√3;4<a=16-3m<5;与a<3不符舍去；所以a=3m-8;(2)
又(m-3)/(3-a)=1/3;（AF=3FB可得比例关系）；
即a=12-3m;代入(2)得m=10/3;所以n=√2/3或-√2/3;
所以a=2;b=√2或-√2；
即A(2,√2)时，B(10/3,-√2/3);
A(2,-√2)时，B(10/3,√2/3);
将A,B,O(0,0)分别代入圆方程：(x-a1)^2+(y-b1)^2=R^2;可得：
当A(2,√2)时，a1=5/3;b1=-√2/6;R^2=17/9;即圆方程为(x-5/3)^2+(y+√2/6)^2=17/9;
当A(2,-√2)时，a1=5/3,b1=√2/6;R^2=17/9;即圆方程为(x-5/3)^2+(y-√2/6)^2=17/9;

Answer 2

x²-(10/3)x+y²+(√2/3)y=0