Question

已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,F1,F2为椭圆的左右焦点，直线l过F2，与椭圆交于A、B两...

已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,F1,F2为椭圆的左右焦点，直线l过F2，与椭圆交于A、B两点，以AB为直径的圆恰好过原点，求直线l的方程

Answer 1

A(X1,Y1)
B(X2,Y2)
直线 y=k（x-根号2）
联立x^2/4+y^2/2=1
得（2k^2+1)x^2-4k^2x跟(2)+4(k^2-1)=0
x1+x2=4k^2跟(2)/（2k^2+1) (1)
x1x2=4(k^2-1）/（2k^2+1) (2)
以AB为直径的圆恰好过原点,OA垂直OB,X1X2+YIY2=0 ）(3)
y1=k（x1-根号2） （4）
y2=k（x2-根号2） (5)
(4)式乘以(5)式得：y1y2=k^2(x1-根号2)（x2-根号2) （6）
（1）（2）（3）代入（6）可解得k=正负根号（2/3)

注 即k^2=2/3

Answer 2

c=根号2 ∴设直线y=k（x-根号2）代入椭圆方程得（1+2k^2）x^2-4（根号2）k^2x+4k^2-4=0
∵O在圆上 ∴OA·OB=0 ∴x1x2+y1y2=（1+k^2）x1x2-（根号2）k^2(x1+x2)+2k^2=0
由韦达定理将x1x2与（x1+x2）代入上式得k^2=2 ∴k=±根号2
∴直线方程y=（根号2）x-2或y=-（根号2）x+2