Question

某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元

某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件．设每件商品的售价为 元（ 为正整数），每个月的销售利润为 元．
（1）求 与 的函数关系式并直接写出自变量 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）当每件商品的售价高于60元时，定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？

Answer 1

：（1）当50≤x≤60时，y=（x-40）（100+60-x）=-x2+200x-6400；
当60＜x≤80时，y=（x-40）（100-2x+120）=-2x2+300x-8800；
∴y=-x2+200x-6400（50≤x≤60且x为整数）
y=-2x2+300x-8800（60＜x≤80且x为整数）
（2）当50≤x≤60时，y=-（x-100）2+3600；
∵a=-1＜0，且x的取值在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y有最大值2000；
当60＜x≤80时，y=-2（x-75）2+2450；
∵a=-2＜0，
∴当x=75时，y有最大值2450．
综上所述，每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
（3）当60＜x≤80时，y=-2（x-75）2+2450．
当y=2250元时，-2（x-75）2+2450=2250，
解得：x1=65，x2=85；
其中，x2=85不符合题意，舍去．
∴当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．

Answer 2

y=[100-2*(x-60)](x-40)=(220-2x)(x-40)=2450-2(x-75)^2 60≤x≤80
[100+1*(60-x)](x-40)=(160-x)(x-40)=3600-(x-100)^2 50≤x≤60

x=75 y=2450

2250=2450-2(x-75)^2 100=(x-75)^2 X₁=85（大于80舍去） X₂=65 答案为X=65

Answer 3

y=[100-2*(x-60)](x-40)=(220-2x)(x-40)=2450-2(x-75)^2 60≤x≤80
[100+1*(60-x)](x-40)=(160-x)(x-40)=3600-(x-100)^2 50≤x≤60

x=75 y=2450

2250=2450-2(x-75)^2 100=(x-75)^2 X₁=85（大于80舍去） X₂=65 为X=65

Answer 4

y=[100-2*(x-60)](x-40)=(220-2x)(x-40)=2450-2(x-75)^2 60<=x<=80
[100+1*(60-x)](x-40)=(160-x)(x-40)=3600-(x-100)^2 50<=x<60

x=75 y=2450

2250=2450-2(x-75)^2 100=(x-75)^2 x=85

Answer 5

y=[100-2*(x-60)](x-40)=(220-2x)(x-40)=2450-2(x-75)^2 60<=x<=80
[100+1*(60-x)](x-40)=(160-x)(x-40)=3600-(x-100)^2 50<=x<60

x=75 y=2450

2250=2450-2(x-75)^2 100=(x-75)^2 x=85