Question

在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,a(n+2)=a(n+1)-2an,求 an

Answer 1

a(n+2)-a(n+1)-2an=0;
a(n+2)+a(n+1)-2an=2a(n+1);
a(n+2)+a(n+1)=2(a(n+1)+an);
令bn=a(n+1)+an;
则b（n+1）=2bn；
{bn}是以b1=a2+a1=4为首项，2为公比的等比数列；
bn=4*2^(n-1)=2^(n+1);
a(n+1)+an=2^(n+1);

an+a(n-1)=2^n,....................(1)
a(n-1)+a(n-2)=2^(n-1)..........(2)
a(n-2)+a(n-3)=2^(n-2)..........(3)
...........
a(2)+a(1)=2^(2)..................(n-1)

1)若n为偶数，
由(1)-(2)+(3)-...+(n-1),得：
an+a1=[4-(-2)*2^n]/(1-(-2))=[4+2^(n+1)]/3;
an=[4+2^(n+1)]/3-a1=[2^(n+1)+1]/3;
2)若n为奇数，
由(1)-(2)+(3)-...-(n-1),得：
an-a1=[-4-(-2)*2^n]/(1-(-2))=[-4+2^(n+1)]/3;
an=[-4+2^(n+1)]/3+a1=[2^(n+1)-1]/3;
所以，合并1），2），得：
an=2^(n+1)/3+(-1)^n /3.