Question

高中数学，直线方程

题目：过点P(0,1)作一条直线，使它夹在两条直线X-3Y+10=0和2X+Y-8=0间的线段被点P平分，求这条直线的方程
我知道有很多方法可以求该题，不过对一种解析有疑惑。
解析：设所求直线与两已知直线L1交与A(a,b)，则与L2交与B(-a,2-b)，又A、B分别在L1，L2上，所以有方程组
a-3b+10=0 (1)
2(-a)+(2-b)-8=0 (2)
将(1)和(2)得 a+4b-4=0，且P(0,1)在此直线上，故直线L的方程为 X+4Y-4=0
我的主要疑惑，为什么方程的(1)和(2)式相加就可得到所求直线，为什么只需相加，而不是相减
详细的过程，拜托各位了

Answer 1

我个人觉得这个题目应该从直线系方程谈起 首先先谈两个结论：
1，解答中将（1）（2）式相加不是偶然，是计算的结果，后详细解释；
2，解答中将（1）（2）式相加也不是必然，有的题目可以相减，后举例说明；
先详细解释结论1：
根据假设点A（a，b），点B（-a，2-b），这种假设基于AB的中点是点P（0，1）
所以已经说明A，B，P三点共线啦
经过计算得到下面两个方程
a-3b+10=0 （1） 2（-a）+（2-b）-8=0 （2）
这两个方程说明点A（a，b）同时满足以下两个直线方程：
x-3y+10=0 （3） 2（-x）+（2-y）-8=0 （4）
那说明点A（a，b）是直线方程（3）和（4）的公共点
所以经过点A（a，b）的所有直线的直线系方程可以表示如下
x-3y+10+k[2（-x）+（2-y）-8]=0（5），很显然点A（a，b）满足该方程（5）
当k取不同的值时，就会得到不同的直线，但是这些直线都经过点A（a，b）
由于刚才的假设A，B，P三点已经共线，所以只要让直线方程（5）经过点P（0，1）
这样得到的直线方程就会经过A，B，P三点，即为所求直线方程；
故将P（0，1）坐标代入方程（5）得出，k=1；
这就是为什么刚才解答中要将方程（1）（2）相加的原因，不是偶然，是计算的合理结果；

再举例说明结论2：
将上述题目稍微改动，把方程2X+Y-8=0改为2X+Y+6=0，改动后的题目变为
新题目：过点P（0，1）作一条直线，使它夹在两条直线X-3Y+10=0和2X+Y+6=0间的线段被点P平分，求这条直线的方程；
略解：假设点A（a，b），点B（-a，2-b），分别代入两个方程得到
a-3b+10=0 （1） 2（-a）+（2-b）+6=0 （2）
这两个方程说明点A（a，b）同时满足以下两个直线方程：
x-3y+10=0 （3） 2（-x）+（2-y）+6=0 （4）
所以经过点A（a，b）的所有直线的直线系方程可以表示如下
x-3y+10+k[2（-x）+（2-y）+6]=0（5），
所以只要让直线方程（5）经过点P（0，1），
这样得到的直线方程就会经过A，B，P三点，即为所求直线方程；
故将P（0，1）坐标代入方程（5）得出，k=负1；
所以此时应该将方程（1）和（2）相减才能得出正确结果；
最后该新题目的所求直线方程为：3X-2Y+2=0；
该直线与两条已知直线的交点坐标分别为（2，4）（-2，-2）
而且此类题目有很多其它解法也可得到上述新题目的直线方程

综上所述，验证了开始的两个结论，并且建议：
其实这种做法并不是巧妙做法，而且不易推广，其实可以采用传统做法
就是直接设点斜式方程与已知方程联立，求出交点坐标，然后利用中点公式求出斜率k
但是这种方法的顾虑就是求交点坐标比较麻烦，不过可以考虑设而不求的策略
设所求方程为y=kx+1，单独考虑当斜率不存在时，条件不成立
假设该直线方程与已知直线的交点分别为点A（x1，y1），点B（x2，y2），则
x1-3y1+10=0
2x2+y2-8=0
x1+x2=0
y1+y2=2
由上述四个方程可以很快求出点A（-4，2），点B（4，0），
再由这两点求出斜率k=-1/4，最后得到所求方程x+4y-4=0

Answer 2

如果相减，P(0,1)不在此直线上当然就不是结果
P是中点，相加除以2，是方程就不除以2,这样保证P在直线上

Answer 3

以为所设之间经过L1，L2，那么设(a,b)这个点再P所在的直线与L1（用L3代替）上，那么（a,b）同时满足L1,L3这两条直线的条件，那么a-3b+10=0这个变成立，根据线段被P平分可得L3与L1的交点(-a,2-b)，那么所求L3便是经过A（a,b），B(-a,2-b)这2点的直线。
根据a-3b+10=0 (1)
2(-a)+(2-b)-8=0 (2)
我们可以得出a和b之间的数量关系为a+4b-4=0
回到直线与两已知直线L1交与A(a,b)这一步，其中a是X的值，b是Y的值，说明A点再X+4Y-4=0这条直线上，然后把P点带入a+4b-4=0，方程仍成立，说明P点再这条线上
，那么他就同时满足了A,B,P3点再这条直线上，那么这条线线就是所求直线。
而你所问的是（1）+（2）是为了使a前面的系数等于1，从而得到a,b之间的关系式。