Question

已知函数f(x)=ln（e^x+1）-1/2x、求函数f(x)的单调区间，并判断函数的奇偶性

若不等式f(x^2+2)<=f(2ax-a^2)的解集是A={x|x^2-5x+4<= t}的子集
求实数a的取值范围

Answer 1

1）对f(x)求导得：f‘（x）=e^x/e^x+1+1/2x^2因为f‘（x）>o在x不等于0时恒成立所以f(x)在x不等于0的前提下单调递增。故增区间为（负无穷大，0）和（0，正无穷大）又验证f（-x）=-f(x)知其是奇函数

Answer 2

：（Ⅰ）f′(x)=ex ex+1 -1 2 =ex-1 ex+1 ，
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，在（-∞，0）上是单调减函数
由f(x)-f(-x)=ln(e^x+1/ e^-x+1 )-x=lnex-x=0∴f（x）为R上的偶函数
（Ⅱ）由x2+2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
从而不等式等价于：x2+2≤|a||2x-1|
又不等式x2-5x+4≤0的解集为A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x2+2-2|a|x+|a|≤0
10当△＜0时，不等式的解集为空集，满足条件，即|a|∈（-1，2）⇒|a|＜2成立；
当△=0时，|a|=2，此时x2-4x+4≤0⇒x=2∈A成立；
30当△＞0时，|a|＞2，
设方程x2+2-2|a|x+|a|=0的两根为x1，x2，则 f(1)≥0 f(4)≥0 1＜|a＜4 |a＞2 ⇒2＜|a|≤18/ 7综上，|a|≤18 7 ⇒a∈[-18 /7 ，18 /7 ]