Question

平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过O的直线EF,GH分别交AB,CD,AD,BC于点E,F,G,H，求证：四边形GEHF是平

Answer 1

证明：
∵ABCD是平行四边形
∴AB//CD ,AD//BC
∴∠EAO=∠FCO【内错角相等】
又∵∠AOE=∠COF【对顶角相等】，AO=CO
∴⊿AOE≌⊿COF（AAS）
∴EO=FO
同理：
∵∠GAO=∠HCO，∠AOG=∠COH，AO=CO
∴⊿AOG≌⊿COH（AAS）
∴GO=OH
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形
∴四边形GEHF是平行四边形

Answer 2

证明：

因为O为平行四边形ABCDABCD中对角线AC的中点
所以O为平行四边形ABCD的对称中心
即O平分EF,GH
则EF,GH互为平分
即四边形GEHF是平行四边形

因为 在平行四边形ABCD中 AB//CD，OB=OD
所以 角ABO=角CDO
因为 角GOB=角HOD，OB=OD
所以 三角形BOG全等于三角形DOH
所以 OG=OH
因为 点E,F是OB,OD,的中点，OB=OD
所以 OE=OF
因为 OG=OH
所以 GEHF是平行四边形

Answer 3

平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是两条对角线交点，对称中心平分对角线，因此AC的中点O就是对称中心。
EF和GH经过对称中心O
那么它们被平行四边形ABCD四边所截的线段，也被对称中心O所平分
于是，OE=OF
OG=OH
所以，四边形GEHF是平行四边形