Question

求教一道常微分方程

求教一道常微分方程三题的三小问。本来打算先利用欧拉方程，再用常熟变易，后面发现计算量太大，而且和答案不一样

Answer 1

直接用欧拉方程求解即可
令u=lnt，则x'=dx/dt=dx/du*du/dt=(1/t)*dx/du
x''=d(dx/dt)/dt=d(dx/dt)/du*du/dt=(1/t^2)*(d^2x/du^2-dx/du)
代入原方程
d^2x/du^2-4dx/du-8x=ue^u
特征方程r^2-4r-8=0的解为：r1=2+2√3，r2=2-2√3
所以齐次方程的通解为：x=C1*e^[(2+2√3)u]+C2*e^[(2-2√3)u]，其中C1,C2是任意常数

设非齐次方程的特解为：x*=(au+b)e^u，其中a,b是待定系数
x*'=ae^u+(au+b)e^u，x*''=2ae^u+(au+b)e^u，代入非齐次方程
2ae^u+(au+b)e^u-4ae^u-4(au+b)e^u-8(au+b)e^u=ue^u
(-2a-11b)-11au=u

则a=-1/11，b=2/121
即非齐次方程的特解为：x*=(-u/11+2/121)e^u
则非齐次方程的通解为：x=C1*e^[(2+2√3)u]+C2*e^[(2-2√3)u]-(u/11-2/121)e^u
将u=lnt代入，得：x=C1*t^(2+2√3)+C2*t^(2-2√3)-(t/11)*lnt+2t/121，其中C1,C2是任意常数

Answer 2

先把二阶导的系数化为1，然后求齐次解，再求特解