Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点

（1）求证：MC//平面PAD (2)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值 （3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值

Answer 1

第一个问题：
取PA的中点为N。
∵M、N分别是PB、PA的中点，∴由三角形中位线定理，有：NM∥AB、且NM＝AB/2＝1，
又AB∥DC、DC＝1，∴NM∥DC、且NM＝DC，∴CDNM是平行四边形，∴CM∥DN，
而DN在平面PAD上，∴CM∥平面PAD。

第二个问题：
以PA、PB为邻边作平行四边形PAEB。　显然∠CAE＝AC与PB所成的角。
∵PA⊥平面ABCD，又显然有：PA∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BC、BE⊥AB。
由平行四边形PAEB，得：PA＝BE＝1，∴AE＝√（AB^2＋BE^2）＝√（4＋1）＝√5。
由梯形ABCD，得：BC＝√［（AB－CD）^2＋AD^2］＝√（1＋1）＝√2。
AC＝√（AD^2＋CD^2）＝√（1＋1）＝√2。
∴CE＝√（BE^2＋BC^2）＝√（1＋2）＝√3。

容易验证：AE^2＝AC^2＋CE^2，∴由勾股定理的逆定理，得：AC⊥CE，
∴cos∠CAE＝AC/AE＝√2/√5＝√10/5。
即：异面直线AC、PB所成角的余弦值为√10/5。

第三个问题：
以PA、AD为邻边作平行四边形PADF。
∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA，又AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB，
显然有：PF∥AD，∴PB⊥PF。

∵PADF是平行四边形，∴FD∥PA，而PA⊥AD，∴AD⊥FD，显然有：AD⊥DC，
∴AD⊥平面FDC，∴FC⊥AD，∴FC⊥PF。

由PB⊥PF、FC⊥PF，得：PB∥FC，∴P、B、C、F共面。
显然有：FD⊥PF，又FC⊥PF，∴∠CFD是平面PAD与平面PBC所成的角的平面角。
由平行四边形PADF，得：FD＝PA＝1。
由PA⊥平面ABCD、FD∥PA，得：FD⊥平面ABCD，∴FD⊥DC。
∴tan∠CFD＝DC/FD＝1，∴∠CFD＝45°，即：平面PAD与平面PBC所成的角为45°。