Question

高中数学必修一函数题 求解

已知函数f(x)=ax+b除以1-x²是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(½）=三分之二
一：确定函数f(x)的解析式
二：用定义证明f(x)在（-1,1）上是增函数
三：解不等式f(t-1)+f(t)<0
第一题我会 第二题怎么也证明不出来 请数学高手们帮帮小弟 谢谢啦！
请详细地写出第二题是如何证明出来的 谢谢啦！

Answer 1

1、解：因为函数f(x)=（ax+b）/（1－x²）在定义域（-1 ，1）上是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，令x=0 ，f(x)=0，得b=0，又因为f（1/2）=2/3 得a=1-2b 把b=0带入得a=1， 所以函数f（x）的解析式f（x）=x/（1-x²）
2、解：设-1<x1＜x2<1
f（x2）-f（x1）=（x2-x2x1^2-x1+x1x2^2)/[(1-x2^2)(1-x1^2)]
∵分母恒大于零
∴分子=x2-x2x1^2-x1+x1x2^2，因为x2-x1>0
所以分子=x1x2(x2-x1)+(x2-x1)
=(x2-x1)(1+x1x2)
因为-1<X1x2<1
所以1+x1x2>0
∴f（x2）-f（x1）>0
∴在（-1，1）上为增函数
3、原式可得 f(t-1)<f(-t)
因其定义域，所以-1<t-1<1，-1<-t<1，因其增函数，所以 t-1<-t
所以0<t<1/2

Answer 2

二
任取1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)=(x1\1-x1^2)-(x2\1-x2^2)=(x1*x2+1)(x1-x2)\(1-x1^2)(1-x2^2)
因为1>x1>x2>-1 所以(x1x2+1)>0 (x1-x2)>0 x1^2<1 x2^2<1 则(1-x1^2)>0 (1-x2^2)>0
所以f(x1)>f(x2) 所以f(x)在（-1,1）上是增函数。
三
f(t-1)+f(t)<0 f(t-1)<-f(t) f(t-1)<f(-t)
-1<t-1<1 -1<-t<1 t-1<-t
最后解之得 0<t<1/2

Answer 3

（一）、解：因为函数f(x)=（ax+b）/（1－x²）在定义域（-1 ，1）上是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，令x=0 得b=0，又因为f（1/2）=2/3 得a=1-2b 把b=0带入得a=1， 所以函数f（x）的解析式f（x）=x/（1-x²）。

（二）、因为f（x）=x/（1-x²） ，设（x1，x2）在（-1 ，1）上所以f（x2）-f（x1）>0 即f（x2）>f（x1） 所以f（x）在（-1 1）上是增函数。

（三）、因为 -1<x<1所以-1<t-1<1即0<t<2
又因为f（t-1）+f(t)<0 得2t-1<0即 t<1/2 综上0<t<1/2 。

Answer 4

解(1)令g(x)=(ax+b)/(1-x²)因为在（-1,1）为奇函数，故g(0)=b=o
又因为f(1/2)=2/3解得a=4/3
f(x)=4x/3
(2)在定义域（-1,1）中任意取X1,X2.且,-1<X1<X2<1
f(X1)=4X1/3 f(X2)=4X2/3
f(X2)-f(X1)=4(X2-X1)/3 X2-X1>0 f(X2)-f(X1)>0
所以在定义域（-1,1）是增函数
（3）f(t-1)<-f(t)因为在定义域内f(x)=4x/3
是奇函数且是单调增函数
f(t-1)<f(-t) t-1<-t t<1/2