Question

判断图中所示无穷级数的敛散性，一小题，需过程，看懂后定采纳

判断图中所示无穷级数的敛散性，一小题，需过程，看懂后定采纳谢谢

Answer 1

条件收敛
利用和角公式，原式=∑(n=2→∞)sin(nπ)cos(1/lnn)+cos(nπ)sin(1/lnn)=Σ(n=2→∞)(-1)^n*sin(1/lnn)
因1/lnn是无穷小数列，所以存在某个正数N，使得当n>N时，1/lnn<π/2。
在(0,π/2)上正弦为增函数，而1/lnn是减函数，由复合函数的单调性可知此时sin(1/lnn)是递减的，满足莱布尼茨定理，因此该交错级数收敛。
取绝对值，sin(1/lnn)与1/lnn是等价无穷小，二者敛散性相同。而当n≥2时，不等式1/lnn>1/(n-1)恒成立，而级数Σ(n=2→∞)1/(n-1)发散，比较审敛法得Σsin(1/lnn)发散。
故条件收敛