Question

高中数学单调性问题

已知函数f(x)=1/x-log2[(1+x)/(1-x)]，求其函数的单调性。写明具体过程。O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

根据题意,f(x)=1/x-log2[(1+x)/(1-x)],
为使函数有意义,
要求x≠0,(1+x)/(1-x)>0,
因此定义域是x∈(-1,0)∪(0,1)
x∈(-1,0)
设-1<x1<x2<0,有:
f(x2)-f(x1)=1/x2-log2[(1+x2)/(1-x2)]-1/x1+log2[(1+x1)/(1-x1)]
=(x1-x2)/x1x2+log2[(1+x1)/(1-x1)]-log2[(1+x2)/(1-x2)]
由于x1<x2<0,
(x1-x2)/x1x2<0,
那么对于log2[(1+x1)/(1-x1)]-log2[(1+x2)/(1-x2)]
首先对于(1+x1)/(1-x1)-(1+x2)/(1-x2)
你可以算算是＜0的 这里我不算了 反正你要写的
那么如果(1+x1)/(1-x1)和(1+x2)/(1-x2)
加上log2 因为 f（x）=log2 x x越大f（x）越大
所以(1+x1)/(1-x1)-(1+x2)/(1-x2)＜0

所以整个＜0
所以
f(x2)-f(x1)＜0
f（x2）＜f（x1）
减函数
另外一个不能同理 但结果一样

Answer 2

此题可用复合函数单调性来说明：
f(x)=1/x-log2[(1+x)/(1-x)]=1/x-log2[2/(1-x)/-1]
y=2/(1-x)在(-1,0),(0,1)增，
y=log2[2/(1-x)/-1]在(-1,0),(0,1)增，
y=-log2[2/(1-x)/-1]在(-1,0),(0,1)减，
y=1/x在(-1,0),(0,1)减，
所以，f(x)=1/x-log2[(1+x)/(1-x)]在(-1,0),(0,1)减.
此题用导数也可证明，但求导过程较复杂！定义证明也较复杂！