Question

在三角形ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,已知c*b=a*c=b*a,求证三角形ABC是正三角形

Answer 1

1.反正法：
假设 ABC不是正三角形，则不妨令：a≤b≤c(等号不同时成立)
①a≤b<c,则ab<bc 矛盾
②a<b≤c 则ab<bc 矛盾
③a<b<c 则ab<bc 矛盾
综上所述: 假设不成立，所以ABC是正三角形
2. 直接（我的比较麻烦）
由余弦定理得：
cos∠B=(a²+c²-b²)/2ac ①
cos∠A=(b²+c²-a²)/2bc ②
cos∠C=(a²+b²-c²)/2ab ③
①+②得：
cos∠B+cos∠A=(a²+c²-b²)/2ac+(b²+c²-a²)/2bc =c/a ④ (ab=bc=ac分母相等，分子相加);
cos∠C+cos∠A=(a²+b²-c²)/2ab+(b²+c²-a²)/2bc =b/a ⑤ (ab=bc=ac分母相等，分子相加);
④-⑤得:
cos∠B-cos∠C=(c-b)/a=(bc-b²)/ab
①-②得:
cos∠B-cos∠C=(2c²-2b²)/2ab=(c²-b²)/ab
∴(bc-b²)/ab =(c²-b²)/ab
∴bc=c²
∵c≠ 0∴b=c;同理可证a=b;
∴a=b=c

Answer 2

1/2ab*sinC=1/2bc*sinA=1/2acsinB
可得：sinA=sinB=sinC,
所以是等边三角形