Question

高分有追加：几道高一函数难题，求老师高手帮忙

实在是想了很久.可能我数学太差了
1.f(x)对任意x、y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y),f(x)恒不为0,求证f(x)＞0
2.设f(x)=10^x（x1≠x2）,判断正误并证明：f[(x1+x2)/2]＜[f(x1)+f(x2)]/2
3.若任意x∈[0,+∞），1+2^x+3^x+a·4^x＜0恒成立，求a范围
4.a＞0且a≠1 ，f（x）=x²-a^x.当x∈（-1,1）时恒有f(x)＜1/2，求a范围

Answer 1

1.f(x)=f(x/2+x/2)=f²(x/2)>0
2.对。用均值不等式，因为x1≠x2，所以[f(x1)+f(x2)]=10^x1+10^x2>2根号下(10^x1 * 10^x2)=2f[(x1+x2)/2]
3.1/4^x+(2/4)^x+(3/4)^x+a<0,左边随x增大而减小，所以最大值在x=0时取得，所以1+1+1+a<0,a<-3
4.高中不要求那么严密，我就大概说了
当x=-1或1时，f(x)小于等于1/2，解得1/2小于等于a小于等于2
下面证此时成立：
x=0时显然成立
-1<x<0时，f(x)<x²-2^x,右边单调递减，<(-1)²-2^(-1)<1/2
0<x<1时，f(x)<x²-(1/2)^x,右边单调递增，<1²-(1/2)^1<1/2
综上此时成立
所以a∈[1/2,1）并（1,2]

这几道题对高一有一定难度，第一道函数方程，这种类型曾是奥赛中的难题，形式简单，做法简单，却难想；第二道我不知道你们学均值不等式没，若是竞赛班，应该学了，若没学，可用完全平方式试一下；第四道形式诡异，且大多数人讨厌分类讨论，我用的是先猜后证，可能有其他方法

Answer 2

1 . x=y=z/2
对任意实数z,有 f(z)=f(2x)=f(x)^2 >0
2. 10^(x1/2+x2/2)<(10^(x1)+10^x2)/2
因为 10^(x1)+10^x2>=2sqrt(10^(x1)10^(x2)) a+b>=2sqrt(ab)
x1 !=x2 =>10^(x1)+10^x2>2sqrt(10^(x1)10^(x2)) ==> 10^(x1/2+x2/2)<(10^(x1)+10^x2)/2

3. 对任意x， a<-（1+2^x+3^x）/4^x, 由于（1+2^x+3^x）/4^x 是单调减小的，极大值在x=0处
为3 因此 a<-3

4 x²-a^x-1/2<0 ==> a^x>(x^2-1/2)
a>1 a>(x^2-1/2)^(1/x)
a<1 a<(x^2-1/2)^(1/x)
x定义域 sqrt(2)/2=<x=<1 或sqrt(2)/2>=x>=-1，(x^2-1/2)^(1/x)在这些定义域中分别是单调函数
且取值为（0,1/2), (2,+inf)
因此找不到这样的a满足要求，或者，满足条件的a的值域为空集

追问

似乎第四题做错了.

Answer 3

1. 第一题很简单
f(x+y)=f(x)*f(y)，当x=y时，f(2x)=f(x)^2>=0，因为f(x)不恒为零，所以f(2x)=f(x)^2>0；
这里f(x)和f(2x)的定义域都一样（都在自然数集合里），只是在同一尺度下的放缩变换导致取值不同，所以不影响f(x)的值域范围。因此很容易看出f(x)>0
2. 为了简单点。先进行一下等价变换
a=10^(x1/2);
b=10^(x2/2);
由此可以把上述不等式化简为：
a*b<(a^2+b^2)/2
即a^2-2a*b+b^2>=0，因为x1和x2不相等所以a和b也不会相等。
公因式变换为(a-b)^2>0

4.f(x)=x^2-a^x代入不等式，可得
x^2-a^x<1/2
化简得到
2x^2-1<2a^x
因为x定义域在(-1,1)可以很方便求出
-1<2*x^2-1<1
2(1/a)<2a^x<2a
那么a必须满足2a>1，且2(1/a)>-1，还有a不等于1
所以联立不等式2>a>0.5,且a!=1

Answer 4

1令x,y都等于0，则f(0)的平方=f(0),又因为f(x)不为0，所以f(0)=1,对此，我们取f(x)=f(x/2)f(x/2)=[f(x/2)]^2，因此，对于任意的x，都有f(2)大于等于0，而显然，根据题意f(2)是不可以为0的，所以f(x)>0
2 f[(x1+x2)/2]=10^[(x1+x2)/2]=根号下[10^（x1+x2）],显然是小于【10^(x1)+10^(x2)】/2的，运用一下三角不等式a^2+b^2>=2ab就可以了，而指数函数是不可能等于0，只是无限趋近于0，因此等于号久可以拿掉了，提供思路，证明不证了
3,4两题诶，对数的公式什么的都忘记光了。。。算的头大。帮不上忙了，不好意思

Answer 5

各位仁兄帮忙看下几道数学题 十分感激！！ 我来回答得简单点吧 由立方和公式： x^3/2 x^(-3/2) =(x^1/2 x^-1/2)(x x^-1-1) =

Answer 6

1,设X=X/2，Y=X/2，根据f(x+y)=f(x)f(y)得，f(x)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)^2>=0，又因为f(x)恒不为0，所以f(x)>0。。。。