Question

如图，在三角形ABC中，点O是AC边上一个动点

在三角形ABC中，点O是AC边上一动点，过点O做直线MN//BC，设MN交角BCA内角平分线于E，外角平分线于点F
三角形ABC中,O是AC上一个动点,过O做直线MN//BC,设MN交<BCA的平分线于E,交<BCA的外角平分线于F
（1）证明：EO=OF
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由
（3）若AC边上存在点O,是四边形AECF是正方形，且AE:BC=根号6:2，求∠B的大小

Answer 1

在BC的延长线上任取一点G。
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE、∠OFC＝∠GCF，　又∠OCE＝∠BCE、∠OCF＝∠GCF，
∴∠OEC＝∠OCE、∠OFC＝∠OCF，∴EO＝CO、OF＝CO，∴EO＝OF。

当O为AC的中点时，AECF为平行四边形。　证明如下：
由第一个问题的结论，有：EO＝OF，又AO＝CO，∴AECF是平行四边形。［对角线互相平分］
∴当O运动到AC的中点时，四边形AECF是平行四边形。

∵AECF是正方形，　∴AC＝√2AE、∠ACE＝45°。
∵∠BCE＝∠ACE，　∴∠ACB＝2∠ACE＝90°。
又AE/BC＝√6/2，　∴AC/BC＝√2AE/BC＝√3，　∴tan∠B＝AC/BC＝√3，　∴此时∠B＝60°。
采纳我！！！！！

Answer 2

第一个问题：
在BC的延长线上任取一点G。
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE、∠OFC＝∠GCF，　又∠OCE＝∠BCE、∠OCF＝∠GCF，
∴∠OEC＝∠OCE、∠OFC＝∠OCF，∴EO＝CO、OF＝CO，∴EO＝OF。

第二个问题：
当O为AC的中点时，AECF为平行四边形。　证明如下：
由第一个问题的结论，有：EO＝OF，又AO＝CO，∴AECF是平行四边形。［对角线互相平分］
∴当O运动到AC的中点时，四边形AECF是平行四边形。

第三个问题：
∵AECF是正方形，　∴AC＝√2AE、∠ACE＝45°。
∵∠BCE＝∠ACE，　∴∠ACB＝2∠ACE＝90°。
又AE/BC＝√6/2，　∴AC/BC＝√2AE/BC＝√3，　∴tan∠B＝AC/BC＝√3，　∴此时∠B＝60°。

Answer 3

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

Answer 4

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

Answer 5

在BC的延长线上任取一点G。
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE、∠OFC＝∠GCF，　又∠OCE＝∠BCE、∠OCF＝∠GCF，
∴∠OEC＝∠OCE、∠OFC＝∠OCF，∴EO＝CO、OF＝CO，∴EO＝OF。

当O为AC的中点时，AECF为平行四边形。　证明如下：
由第一个问题的结论，有：EO＝OF，又AO＝CO，∴AECF是平行四边形。［对角线互相平分］
∴当O运动到AC的中点时，四边形AECF是平行四边形。

∵AECF是正方形，　∴AC＝√2AE、∠ACE＝45°。
∵∠BCE＝∠ACE，　∴∠ACB＝2∠ACE＝90°。
又AE/BC＝√6/2，　∴AC/BC＝√2AE/BC＝√3，　∴tan∠B＝AC/BC＝√3，　∴此时∠B＝60°。