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这个不是很难，分子分母都有理化就可以
x->0
lim[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/x[√(1+(sinx)^2)-1]
=lim[(1+tanx)-(1+sinx)]*[√(1+(sinx)^2)+1]/{x*[(1+(sinx)^2)-1]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=lim2(tanx-sinx)/2x^3
=lim (tanx-sinx)/x^3
因为tanx=x+x^3/3+o(x^3), sinx=x-x^3/6+o(x^3)
所以lim(tanx-sinx)/x^3=lim[x+x^3/3-x+x^3/6+o(x^3)]/x^3
=lim[x^3/2+o(x^3)]/x^3=1/2
有不懂的可以加我Q：五贰六贰五六零柒叁
x->0
lim[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/x[√(1+(sinx)^2)-1]
=lim[(1+tanx)-(1+sinx)]*[√(1+(sinx)^2)+1]/{x*[(1+(sinx)^2)-1]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=lim2(tanx-sinx)/2x^3
=lim (tanx-sinx)/x^3
因为tanx=x+x^3/3+o(x^3), sinx=x-x^3/6+o(x^3)
所以lim(tanx-sinx)/x^3=lim[x+x^3/3-x+x^3/6+o(x^3)]/x^3
=lim[x^3/2+o(x^3)]/x^3=1/2
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