Question

（初中数学）圆解答题

如图，已知点O是∠EPF的平分线上的一点,以点O为圆心的圆与角两边分别交于A、B和C、D四点，
（1）求证AB=CD。
（2）若角的顶点P在圆上，如图，其他条件不变，结论成立吗？
要过程，谢谢~

Answer 1

（1）证明：如图：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，AG=BG，CH=DH，

∵∠EPO=∠FPO，

∴OG=OH．

在Rt△OBG和Rt△ODH中，

由HL定理得：△OBG≌△ODH，

∴GB=HD，

∴AB=CD；

（2）结论成立．

如图：顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，

∴AG=GB，AH=HD，

∵∠EAO=∠DAO，

∴OG=OH．

在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，

∴AG=AH，

∴AB=AD．

还有一种情况点P在圆内，结论也是成立．自己可以按照上面方法证明下，不会的话可追加或私聊我！

Answer 2

垂径定理推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
　　　这里其实用这个推论就可以了。
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解：（1）作OM⊥AB与M，ON⊥CD与N
∵点O是∠EPF的平分线上的一点
∴OM=ON（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴AB=CD（垂径定理推论）
（2）结论依然成立。理由同（1），一个字都不用变，一模一样。

Answer 3

如图过0做AB   CD   PB   PD的垂线OM    ON

因为op为角平分线

角平分线上的一点到两边的距离相等，则OM=ON

又因为圆O,半径相等，则三角形AMO和三角形CNO相等,同理三角形BMO和三角形DNO相等.同理三角形ABO和三角形CDO相等,所以AB=CD

同样的道理，若角的顶点P在圆上，如图，其他条件不变，结论仍然成立。

Answer 4

（1）做OM⊥AB交AB于M，做ON⊥CD交CD于N，连接OA，OB，OC，OD，
∴OM=ON（角平分线），OA=OB=OC=OD，
∴△OAB≌△OCD
∴AB=CD
（2）成立，证明方法同（1）

Answer 5

定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

Answer 6

解：（1）作OM⊥AB与M，ON⊥CD与N，则OM=ON（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴AB=CD（在同圆或等圆中，弦心距相等的弦相等）
（2）成立，证法同（1）。