Question

怎么证明两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数？

Answer 1

1、巳知f(x)，g(x)都是偶函数，求证p(x)=f(x)+g(x)是偶函数
证明：因为：f(x)，g(x)都是偶函数
所以：f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)
所以：p(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=p(x)
所以：p(x)是偶函数

2、巳知f(x)，g(x)都是奇函数，求证p(x)=f(x)+g(x)是奇函数
证明：因为：f(x)，g(x)都是奇函数
所以：f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)
所以：p(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+-g(x)=-p(x)
所以：p(x)是奇函数

Answer 2

证明：(1)设f(x),g(x)均为偶函数。
令h(x)=f(x)+g(x)
所以h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x)
所以h(x)为偶函数2若f(x),g(x)都是奇函数
则有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)
所以f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]
说明f(x)+g(x)为奇函数

Answer 3

f(x)，g(x)都是偶函数就可得出f(-x)=f(x),

g(-x)=g(x)
两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x)
则F(-x)=f(-x)+g(-x)
=f(x)+g(x)
=F(x)
，
即
F(-x)=F(x)，

说明F(x)还是偶函数，
即

：两个偶函数相加任为偶函数
f(x)，g(x)都是奇函数就可得出f(-x)=-f(x),

g(-x)=-g(x)
两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x)
则F(-x)=f(-x)+g(-x)
=-f(x)-g(x)
=-【f(x)+g(x)】=-F(x)
，
即
F(-x)=-F(x)，

说明F(x)还是奇函数，
即

：两个奇函数相加任为奇函数