Question

已知abc为三角形ABC的三边,你能判断(a²+b²-c²)-4a²b²的符号吗

Answer 1

有个问题是：“已知abc为三角形ABC的三边,你能判断(a²+b²-c²)²-4a²b²的符号吗”，不知是否是这个问题？如果是的话，解答为：
(a²+b²-c²)²-4a²b²
=[（a²+b²-c²）+2ab][（a²+b²-c²）-2ab]
=[（a²+b²+2ab）-c²][（a²+b²-2ab）-c²]
=[（a+b）²-c²][（a²+b²-2ab）-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)
又因为a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a
所以(a²+b²-c²)²-4a²b²=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)＜0，即符号为负

Answer 2

(a²+b²-c²)²-4a²b²
=[（a²+b²-c²）+2ab][（a²+b²-c²）-2ab]
=[（a²+b²+2ab）-c²][（a²+b²-2ab）-c²]
=[（a+b）²-c²][（a²+b²-2ab）-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)
又因为a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a
所以(a²+b²-c²)²-4a²b²=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)＜0，即符号为负